文章目录
  1. 1. A 机器码和真值
    1. 1.1. a 机器码
    2. 1.2. b 真值
  2. 2. B 原码、反码、补码的基础概念
    1. 2.1. a 原码
    2. 2.2. b 反码
    3. 2.3. c 补码
  3. 3. C 为什么要使用反码和补码
    1. 3.1. a 原码的由来
    2. 3.2. b 反码的由来
    3. 3.3. c 补码的由来

计算机专业的同学对于原码补码都不陌生,上大学第一个接触的就是这东西。很多人可能知道怎么用反码和补码来进行运算,但对于补码规则的本质和逻辑没有了解过,为什么要这么设计呢?我参考了很多网上大牛们的讲解,进行总结一下。

A 机器码和真值

在学习原码、反码和补码之前,有两个概念不得不了解一下,就是机器码和真值。

a 机器码

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0,,负数为1。

比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

b 真值

因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

也就是说,机器数 = 符号位 + 真值

知道了这两个概念,下面一起来看一下原码、补码和反码的概念吧。

B 原码、反码、补码的基础概念

首先了解一下原码、反码和补码最直接的定义

  • 原码表示法是机器数的一种简单的表示法。其符号位用0表示正号,用:表示负号,数值一般用二进制形式表示。
  • 机器数的反码可由原码得到。如果机器数是正数,则该机器数的反码与原码一样;如果机器数是负数,则该机器数的反码是对它的原码(符号位除外)各位取反而得到的。
  • 机器数的补码可由原码得到。如果机器数是正数,则该机器数的补码与原码一样;如果机器数是负数,则该机器数的补码是对它的原码(除符号位外)各位取反,并在末位加1而得到的。

举几个具体的例子来说明一下。

a 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

1
2
[+1] = [0000 0001]原
[-1] = [1000 0001]原

第一位是符号位。因为第一位是符号位,所以8位二进制数的取值范围就是:
[1111 1111, 0111 1111]
也就是:
[-127, 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

b 反码

反码的表示方法是:正数的反码是其本身,负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各个位取反:

1
2
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

如果一个反码表示的是负数,人脑无法直观的看出来它的数值,通常要将其转换成原码再计算。

c 补码

补码的表示方法是:正数的补码就是其本身,负数的补码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各位取反,最后+1 (即在反码的基础上+1)。

1
2
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于负数,补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的,通常也需要转换成原码在计算其数值。

C 为什么要使用反码和补码

如何只想知道怎么运算,记住这几条就足够了。但是,很多同学一定和我一样,都想搞清楚为什么计算机里面的数要这样子表达?意义何在?-128的补码为什么是10000000?为什么补码有这么奇怪的运算规则?

首先,因为人脑可以知道第一位是符号位,在计算的时候我们会根据符号位,选择对真值区域的加减。 但是对于计算机,加减乘数已经是最基础的运算,要设计的尽量简单。如果让计算机辨别符号位,显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂。于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数,即:1 - 1 = 1 + (-1) = 0, 所以机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了。

我们从头开始,看看原码到补码是如何发展的吧。

a 原码的由来

数字在自然界中抽象出来的时候,是没有正数和负数的概念的。计算机保存最原始的数字,也是没有正和负的数字,叫没符号数字。如果我们在内存分配4位(bit)去存放无符号数字,是下面这样子的:

十进制 二进制
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011

后来为了需要,需要从无符号数中,划分出正数和负数的概念。

为了表示正负,发明了原码,把左边第一位腾出来,存放符号,0表示正,1表示负。于是把正负概念准确地表达了出来。

  正数 负数
0 0000 -0 1000
1 0001 -1 1001
2 0010 -2 1010
3 0011 -3 1011
4 0100 -4 1100
5 0101 -5 1101
6 0110 -6 1110
7 0111 -7 1111

b 反码的由来

使用原码储存的方式,方便了人类的阅读,但是计算机却晕了。

   
-1 1001
1 0001

我们希望 (+1)和(-1)相加为0,但计算机计算0001+1001=1010(-2),这显然不是我们想要的结果。另外,原码里,+0和-0的表示也不相同。为了解决正负相加为0的问题,在原码的基础上,发明了反码。

  二进制 原码 反码
0 0000 -0 1000 1111
1 0001 -1 1001 1110
2 0010 -2 1010 1101
3 0011 -3 1011 1100
4 0100 -4 1100 1011
5 0101 -5 1101 1010
6 0110 -6 1110 1001
7 0111 -7 1111 1000

用反码计算(+1) + (-1):0001+1110=1111(0),完美解决了正负相加等于0的问题。

c 补码的由来

但是反码中,任然有两个零:+0(0000)和-0(1111)。我们希望只有一个0,所以发明了补码。

  二进制 原码 反码 补码
0 0000 -0 1000 1111 0000
1 0001 -1 1001 1110 1111
2 0010 -2 1010 1101 1110
3 0011 -3 1011 1100 1101
4 0100 -4 1100 1011 1100
5 0101 -5 1101 1010 1011
6 0110 -6 1110 1001 1010
7 0111 -7 1111 1000 1001
-8 1000

有得必有失,在补一位1的时候,我们要丢掉最高位。我们要处理反码中的-0,当1111再补上一个1之后,变成了10000,丢掉最高位就是0000,刚好和左边正数的0,完美融合掉了这样就解决了+0和-0同时存在的问题,还有正负数相加等于0的问题:(+3)和(-3)相加,0011 + 1101 =10000,丢掉最高位,就是0000(0)。

同样有失必有得,我们失去了(-0) , 收获了(-8)。

以上就是为什么要用反码补码来计算的由来。

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  1. 1. A 机器码和真值
    1. 1.1. a 机器码
    2. 1.2. b 真值
  2. 2. B 原码、反码、补码的基础概念
    1. 2.1. a 原码
    2. 2.2. b 反码
    3. 2.3. c 补码
  3. 3. C 为什么要使用反码和补码
    1. 3.1. a 原码的由来
    2. 3.2. b 反码的由来
    3. 3.3. c 补码的由来